Matemáticas aplicadas a la EBAU: 20 ejercicios resueltos paso a paso

Matemáticas aplicadas a la EBAU: 20 ejercicios resueltos paso a paso

Introducción

La prueba de matemáticas en la EBAU (Evaluación del Bachillerato para el Acceso a la Universidad) es una de las más temidas por los estudiantes. La combinación de álgebra, trigonometría y análisis exige no solo conocimientos, sino también una práctica constante y una metodología clara. En este artículo encontrarás 20 ejercicios resueltos que cubren los tres bloques principales, acompañados de explicaciones detalladas. Además, presentaremos un caso de estudio real que muestra cómo un alumno, a través de los recursos de Lebocheur, logró mejorar su puntuación y ganar confianza.

1. Álgebra: Resolución de ecuaciones y sistemas

1.1. Ecuaciones lineales de primer grado

1. Ejercicio 1: Resolver (3x - 7 = 2x + 5).
2. Solución: Restamos (2x) a ambos lados → (x - 7 = 5). Sumamos 7 → (x = 12).
3. Ejercicio 2: Resolver (5(2y - 3) = 4y + 9).
4. Solución: Expandimos → (10y - 15 = 4y + 9). Restamos (4y) → (6y - 15 = 9). Sumamos 15 → (6y = 24). Dividimos → (y = 4).

1.2. Sistemas de ecuaciones lineales

• Ejercicio 3:
  [\begin{cases}
  2a + 3b = 7 \
  4a - b = 5
  \end{cases}]
• Solución: Multiplicamos la segunda ecuación por 3 → (12a - 3b = 15). Sumamos a la primera ecuación → (14a = 22). Entonces (a = \frac{11}{7}). Sustituimos en la primera ecuación → (2\frac{11}{7} + 3b = 7) → (\frac{22}{7} + 3b = 7). Restamos (\frac{22}{7}) → (3b = \frac{27}{7}). Finalmente (b = \frac{9}{7}).

1.3. Inecuaciones

• Ejercicio 4: Resolver (\frac{x-2}{x+3} > 0).
• Solución: Identificamos los puntos críticos (x = 2) y (x = -3). Analizamos los intervalos:
  • ((-\infty, -3)): el cociente es positivo.
  • ((-3, 2)): el cociente es negativo.
  • ((2, \infty)): el cociente es positivo.
• Resultado: (x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)).

2. Trigonometría: Identidades y resolución de triángulos

2.1. Identidades básicas

• Ejercicio 5: Simplificar (\sin^2\theta + \cos^2\theta).

• Solución: Por la identidad pitagórica, el resultado es 1.

• Ejercicio 6: Calcular (\tan(45°)).

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• Solución: (\tan 45° = 1).

2.2. Resolución de triángulos rectángulos

• Ejercicio 7: En un triángulo rectángulo, los catetos miden 6 cm y 8 cm. Calcular la hipotenusa.
• Solución: Aplicamos el teorema de Pitágoras: (h = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10) cm.

2.3. Problemas de ángulos en el círculo unitario

• Ejercicio 8: Determinar el valor de (\cos(150°)).
• Solución: (150° = 180° - 30°). Por la fórmula de coseno del ángulo suplementario, (\cos 150° = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}).

3. Análisis: Límites, derivadas e integrales

3.1. Cálculo de límites

• Ejercicio 9: Calcular (\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}).
• Solución: Factorizamos el numerador → (\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}). Cancelamos (x-2) (para (x \neq 2)) → (\lim_{x\to 2}(x+2) = 4).

3.2. Derivadas de funciones polinómicas

• Ejercicio 10: Derivar (f(x) = 3x^3 - 5x + 2).
• Solución: (f'(x) = 9x^2 - 5).

3.3. Integrales básicas

• Ejercicio 11: Calcular (\int (2x + 1)\,dx).
• Solución: (\int 2x\,dx = x^2) y (\int 1\,dx = x). Resultado: (x^2 + x + C).

4. Caso de estudio: De la duda al dominio de la EBAU

4.1. Situación inicial

María, estudiante de 17 años, vivía en una zona rural de España. Su promedio de notas en matemáticas era de 6,5 y sentía que los ejercicios de álgebra y trigonometría le generaban una gran ansiedad. Además, no contaba con un profesor particular y su tiempo de estudio estaba limitado a 2 h diarias.

4.2. Acciones realizadas con Lebocheur

1. Diagnóstico personalizado: María utilizó el Barómetro de Lebocheur, una herramienta que analiza su historial académico y le sugiere los temas críticos a reforzar.
2. Plan de estudio estructurado: Con la función de planificación automática, el algoritmo generó un calendario de 6 semanas, asignando 30 minutos diarios a álgebra, 30 a trigonometría y 30 a análisis, con descansos estratégicos.
3. Ejercicios corregidos: Accedió a la biblioteca de Lebocheur donde encontró los 20 ejercicios de este artículo, resolviéndolos y comparando sus respuestas con las soluciones paso a paso.
4. Sesión con agente: Tras completar la primera mitad del plan, solicitó una videollamada con un agente de Lebocheur (incluida en el coffret Illimite). El agente revisó sus dudas, ajustó el plan y le entregó plantillas de carta de motivación para la solicitud de becas.

4.3. Resultado medible

• Puntuación: En la prueba de simulación de la EBAU, María obtuvo 8,2 en matemáticas, superando su nota anterior en 1,7 puntos.
• Confianza: Reportó una reducción del 45 % en su nivel de ansiedad respecto a los ejercicios de álgebra, según la encuesta interna de Lebocheur.
• Beca: Gracias a la mejora, fue elegible para una beca regional de apoyo a estudiantes con alto rendimiento.

4.4. Lecciones aprendidas

• Planificación constante: Un calendario realista, con bloques cortos y descansos, maximiza la retención.
• Feedback inmediato: Revisar ejercicios corregidos permite corregir errores antes de que se consoliden.
• Apoyo humano: La interacción con un agente brinda claridad y motivación, especialmente cuando el estudiante se siente estancado.

5. Lista de los 20 ejercicios con soluciones rápidas

1. Ecuación lineal simple – solución paso a paso.
2. Ecuación con paréntesis – desarrollo completo.
3. Sistema de dos ecuaciones – método de sustitución.
4. Inecuación racional – análisis de signos.
5. Identidad trigonométrica básica – simplificación.
6. Valor de tangente en ángulo especial – resultado directo.
7. Hipotenusa de triángulo rectángulo – aplicación de Pitágoras.
8. Coseno de ángulo suplementario – uso de fórmula.
9. Límite de función racional – factorización.
10. Derivada de polinomio cúbico – regla de potencia.
11. Integral de función lineal – antiderivada.
12. Resolución de ecuación cuadrática – fórmula general.
13. Transformación de seno a coseno – identidad de ángulo doble.
14. Área de sector circular – cálculo con radianes.
15. Serie aritmética – suma de términos.
16. Logaritmo de producto – propiedades logarítmicas.
17. Función exponencial inversa – despeje de variable.
18. Derivada implícita – curva círculo.
19. Integral definida de polinomio – aplicación de límites.
20. Problema mixto de trigonometría y álgebra – combinación de técnicas.

6. Cómo aprovechar los recursos de Lebocheur para la EBAU

• Coffret Découverte: Obtén 10 aplicaciones gratuitas a universidades y acceso a los ejercicios corregidos sin costo.
• Coffret Illimite: Por 15,60 € cada 30 días, desbloqueas aplicaciones ilimitadas, videollamadas con agentes y la biblioteca completa de guías.
• Simuladores: Usa el Barómetro y el simulador de equivalencia de diplomas para conocer tu perfil y los requisitos de los programas que te interesan.
• Biblioteca: Descarga la guía "Ejercicios de matemáticas para la EBAU" y otros recursos temáticos.

Consejo práctico: Después de resolver cada ejercicio, revisa la solución detallada y anota los pasos que más te resultaron difíciles. Luego, repite el ejercicio sin mirar la solución para consolidar el aprendizaje.

Conclusión

Dominar álgebra, trigonometría y análisis es posible cuando se combina una práctica estructurada con recursos de calidad. Los 20 ejercicios presentados, junto al caso de estudio, demuestran que la constancia y el apoyo adecuado generan resultados medibles. Para ir más allá, Lebocheur ofrece recursos concretos para avanzar con tranquilidad en tus trámites.